Вероятность и статистика – основные факты. Распределение Вейбулла (модель слабого звена) Параметры для расчета распределения вейбулла

1. Используя выражение (2.5), вероятность безотказной работы в интервале времени от 500 ч до 2500 ч при условии, что объект проработал безотказно 500 ч равна

1. Средняя наработка до отказа

3.5.2. Определение показателей надежности при распределении Рэлея

Пример. Параметр распределения d* = 100 ч.

Требуется определить для t = 50 ч величины P(t), Q(t), l (t),Т 1 .

Решение.

Воспользовавшись формулами (3.11), (3.12), (3.13), получим

3.5.3. Определение показателей схемы при распределении Гаусса

Пример. Электрическая схема собрана из трех последовательно включенных типовых резисторов: ;

(в % задано значение отклонения сопротивлений от номинального).

Требуется определить суммарное сопротивление схемы с учетом отклонений параметров резисторов.

Решение.

Известно, что при массовом производстве однотипных элементов плотность распределения их параметров подчиняется нормальному закону . Используя правило 3 s (трех сигм), определим по исходным данным диапазоны, в которых лежат значения сопротивлений резисторов: ;

Следовательно,

Когда значения параметров элементов имеют нормальное распределение, и элементы при создании схемы выбираются случайным образом, результирующее значение R е является функциональной переменной, распределенной так же по нормальному закону , причем дисперсия результирующего значения, в нашем случае , определяется по выражению

Поскольку результирующее значение R е распределено по нормальному закону, то, воспользовавшись правилом 3 s , запишем

где - номинальные паспортные параметры резисторов.

Таким образом

Или

Данный пример показывает, что при увеличении количества последовательно соединенных элементов результирующая погрешность уменьшается. В частности, если суммарная погрешность всех отдельных элементов равна ± 600 Ом, то суммарная результирующая погрешность равна ± 374 Ом. В более сложных схемах, например в колебательных контурах, состоящих из индуктивностей и емкостей, отклонение индуктивности или емкости от заданных параметров сопряжено с изменением резонансной частоты, и возможный диапазон ее изменения можно предусмотреть методом, аналогичным с расчетом резисторов .

3.5.4. Пример определения показателей надежности неремонтируемого объекта по опытным данным

Пример. На испытании находилось N о = 1000 образцов однотипной невосстанавливаемой аппаратуры, отказы фиксировались через каждые 100 часов.

Требуется определить в интервале времени от 0 до 1500 часов. Число отказов на соответствующем интервале представлено в табл. 3.1. Таблица 3.1
Исходные данные и результаты расчетов

Решение. .

Средняя наработка до отказа, при условии отказов всех N o объектов, определяется по выражению

, где tj - время отказа j-го объекта (j принимает значения от 0 до N о). В данном эксперименте из N о = 1000 объектам отказало всего объектов. Поэтому по полученным опытным данным можно найти только приближенное значение средней наработки до отказа. В соответствии с поставленной задачей воспользуемся формулой из : при r Ј N о, (3.16)

где tj - наработка до отказа j-го объекта (j принимает значения
от 1 до r); r - количество зафиксированных отказов (в нашем случае r = 315); tr - наработка до r-го (последнего) отказа. Из графика видно, что после периода приработки t і 600 ч интенсивность отказов приобретает постоянную величину. Если предположить, что и в дальнейшем l будет постоянной, то период нормальной эксплуатации связан с экспоненциальной моделью наработки до отказа испытанного типа объектов. Тогда средняя наработка до отказа

ч.

Таким образом, из двух оценок средней наработки до отказа
= 3831 ч и T 1 = 5208 ч надо выбрать ту, которая более соответствует фактическому распределению отказов. В данном случае можно предполагать, что если бы провести испытания до отказа всех объектов, то есть r = N о, достроить график рис. 3.6 и выявить время, когда l начнет увеличиваться, то для интервала нормальной эксплуатации (l = const) следует брать среднюю наработку до отказа T 1 = 5208 ч.

В заключение по данному примеру отметим, что определение средней наработки до отказа по формуле (2.7), когда r << N о, дает грубую ошибку. В нашем примере

ч.

Если вместо N о поставим количество отказавших объектов
r = 315, то получим

ч.

В последнем случае не отказавшие за время испытания объекты в количестве N о - r = 1000-315 = 685 шт. вообще в оценку не попали, то есть была определена средняя наработка до отказа только 315 объектов. Эти ошибки достаточно распространены в практических расчетах.

Вопросы лекции:

Введение

Модели надёжности технических систем

Законы распределения времени безотказной работы

Введение

Количественные методы исследования технических объектов, особенно на этапах их проектирования и создания, всегда требуют построения математических моделей процессов и явлений. Под математической моделью обычно понимают взаимосвязанную совокупность аналитических и логических выражений, а также начальные и граничные условия, отражающие с определённым приближением реальные процессы функционирования объекта. Математическая модель – это информационный аналог натурного объекта, с помощью которого можно получить знания о создаваемом проекте. Считают, что способность вырабатывать предсказания является определяющим свойством модели. Всё это в полной мере относится к математическим моделям надёжности.

Под математической моделью надёжности понимается такая аналитически представляемая система, которая даёт полную информацию о надёжности объекта. При построении модели процесс изменения надёжности определённым образом упрощается, схематизируется. Из большого количества действующих на натурный объект факторов выделяются основные, изменение которых может вызвать заметные изменения надёжности. Связи между составными частями системы могут быть представлены аналитическими зависимостями также с определёнными приближениями. В результате выводы, получаемые на основе исследования модели надёжности объекта, содержат некоторую неопределённость.

Чем удачнее подобрана модель, чем лучше она отражает характерные особенности функционирования объекта, тем точнее будет оценена его надёжность и получены обоснованные рекомендации для принятия решения.

1. Модели надёжности технических систем

В настоящее время сложились общие принципы построения математических моделей надёжности. Модель строится только для определённого объекта, или точнее для группы однотипных объектов с учётом особенностей их будущей эксплуатации. Она должна удовлетворять следующим требованиям:

Модель должна учитывать максимальное количество факторов, оказывающих влияние на надёжность объекта;

Модель должна быть достаточно простой, чтобы с использованием типовых вычислительных средств получать выходные показатели надёжности в зависимости от изменения входных факторов.

Противоречивость этих требований не позволяет полностью формализовать построение моделей, что делает процесс создания моделей в определённой степени творческим.

Существует много классификаций моделей надёжности, одна их которых представлена на рис.1 1 .

Рис.1. Классификация моделей надёжности

Как следует из рис.1, все модели можно разделить на две большие группы: модели надёжности объектов и модели элементов. Модели надёжности элементов имеют больше физического содержания и более конкретизированы для элементов определённой конструкции. В этих моделях используются характеристики прочности материалов, учитываются нагрузки, действующие на конструкцию, рассматривается влияние условий эксплуатации на работу элементов. При исследовании этих моделей получают формализованное описание процессов возникновения отказов в зависимости от выделенных факторов.

Модели надёжности объектов создаются для формализованного описания с позиций надёжности процесса их функционирования как процесса взаимодействия элементов, составляющих данный объект. В такой модели взаимодействие элементов осуществляется только через наиболее существенные связи, влияющие на общую надёжность объекта.

Различают модели надёжности объектов параметрические и модели в терминах отказов элементов. Параметрические модели содержат функции случайных параметров элементов, что позволяет получить на выходе модели искомый показатель надёжности объекта. В свою очередь, параметры элементов могут являться функциями времени наработки объекта.

Модели, создаваемые в терминах отказов элементов, наиболее формализованы и являются основными при анализе надёжности сложных технических систем. Необходимым условием при создании таких моделей является чёткое описание признаков отказов каждого элемента системы. Модель отражает влияние отказа отдельного элемента на надёжность системы.

По принципам реализации моделей они различаются на аналитические, статистические и комбинированные (иначе функционально – статистические).

Аналитические модели содержат аналитические зависимости между параметрами, характеризующими надёжность системы, и выходным показателем надёжности. Для получения таких зависимостей приходится ограничивать количество значимых факторов и значительно упрощать физическую картину процесса изменения надёжности. В результате аналитические модели могут с достаточной точностью описывать только сравнительно простые задачи изменения показателей надёжности систем. С усложнением системы и увеличением количества факторов, влияющих на надёжность, на первый план выходят статистические модели.

Метод статистического моделирования позволяет решать многомерные задачи большой сложности за короткое время и с приемлемой точностью. С развитием вычислительной техники возможности этого метода расширяются.

Ещё большими возможностями обладает комбинированный метод, который предусматривает создание функционально – статистических моделей. В таких моделях для элементов создаются аналитические модели, а система в целом моделируется в статистическом режиме.

Выбор той или иной математической модели зависит от целей исследования надёжности объекта, от наличия исходной информации о надёжности элементов, от знания всех факторов, влияющих на изменение надёжности, от подготовленности аналитического аппарата для описания процессов накопления повреждений и возникновения отказов и многих других причин. В конечном итоге выбор модели осуществляет исследователь.

Это распределение чаще всего используется для исследования интенсивности отказов для периодов приработки и старения.

Надежность наиболее распространенных элементов электрических сетей, таких, как силовые трансформаторы, КЛ, в значительной степени определяется надежностью работы изоляции, «прочность» которой изменяется в течение эксплуатации. Прочность изоляции в зависимости от условий эксплуатации и вида изделия определяется механической прочностью, эластичностью, исключающей возможности образования остаточных деформаций, трещин, расслоений под воздействием механических нагрузок, т. е. неоднородностей.

Однородность и монолитность структуры изоляции и ее высокая теплопроводность исключают возникновение повышенных местных нагревов, неизбежно приводящих к увеличению степени неоднородности электрической прочности. Разрушение изоляции при функционировании элемента происходит в основном в результате нагревания токами нагрузок и температурных воздействий внешней среды. Механические нагрузки (вибрации, деформации, удары и др.) также приводят к разрушению изоляции.

Среди перечисленных факторов, определяющих срок службы изоляции указанных элементов электрических сетей, одним из основных факторов, является тепловое старение. На основании экспериментальных исследований было получено известное «восьмиградусное» правило, согласно которому повышение температуры изоляции, выполненной на органической основе, на каждые восемь градусов в среднем вдвое сокращается срок службы изоляции. В настоящее время в зависимости от класса применяемой изоляции используются шести- , восьми- , десяти- и двенадцатиградусное правила.

Срок службы изоляции в зависимости от температуры нагревания:

T и = А е-γς, (5.43)

где А - срок службы изоляции при ς = 0- некоторая условная величина;

γ- коэффициент, характеризующий степень старения изоляции в зависимости от класса;

ς - температура перегрева изоляции.

Другим важным фактором, вызывающим интенсивное старение изоляции, является обусловленная электрическими процессами при резких изменениях тока, например при резкопеременной нагрузке силового трансформатора, набросах и сбросах нагрузки, сквозных токах КЗ. Механические характеристики прочности изоляции также зависят от температуры. Предел механической прочности изоляции быстро снижается по мере ее нагревания, но в то же время она становится более эластичной.

При воздействии переменных неблагоприятных условий неоднородности материала увеличиваются, например микротрещина распространяется в глубь изоляции и при случайном повышении напряжения может вызвать пробой изоляции. Причиной отказа может быть даже небольшая неоднородность материала.

Число неблагоприятных воздействий (тепловых или электромеханических), вызывающих пробой изоляции, есть функция, убывающая в зависимости от размеров неоднородности. Это число минимально для наибольшей по размерам неоднородности (трещины, расслоения и др.). Т.о., число неблагоприятных воздействий, или срок службы изоляции, должно подчиняться закону распределения минимального числа из числа независимых СВ - чисел неблагоприятных воздействий, соответствующих различным по размерам неоднородностям, т. е. если Ти - время безотказной работы всей изоляции, а Тиi - время безотказной работы i-го участка (i = 1, 2,..., n), то:

T и = min (T и1,T и2,…,T иn). (5.44)

Таким образом, для определения закона распределения времени безотказной работы такого объекта, как изоляция элемента электрической сети, необходимо найти вероятность распределения минимальных времен безотказной работы совокупности всех участков. Причем наибольший интерес представляет случай, когда законы распределения времени безотказной работы отдельных участков имеют произвольный характер, но вид законов распределения одинаков, т. е. резковыраженных отличающихся участков нет.

В смысле надежности участки такой системы соответствуют последовательному соединению. Поэтому функция распределения времени безотказной работы такой системы:

q c (t) = 1 – n. (5.45)

Далее математическими преобразованиями выводится формула, при которой основным параметром является «порог чувствительности», т. е. элемент гарантированно не откажет в интервале времени (0, t0) (в частном случае t0 = 0). Если распределение не имеет порога чувствительности t0, то закон распределения называется распределением Вейбулла:

где с > 0 – некоторый постоянный коэффициент;

α – параметра распределения.

Этот закон распределения довольно часто используется при аппроксимации распределения времени безотказной работы систем с конечным числом последовательно (в смысле надежности) соединенных элементов (длинные КЛ со значительным числом муфт и др.).

Плотность распределения:

(5.47)

При α = 1 плотность распределения превращается в обычную показательную функцию (см. рисунок 5.12).

Рисунок 5.12 - Дифференциальная функция распределения времени безотказной работы изоляции по закону

Вейбулла

Рисунок 5.13 - Интенсивность отказов при

распределении по закону Вейбулла

Интенсивность отказов при распределении плотности по закону Вейбулла (см. рисунок 5.13):

λ(t) = αctα-1. (5.48)

Интенсивность отказов для этого закона в зависимости от параметра распределения может расти, оставаться постоянной (показательный закон) и уменьшаться.

Как видно из рисунков 5.12 и 5.13 экспоненциальный закон распределения является частным случаем закона Вейбулла при α = 1 (λ = const). При α = 2 функция распределения времени безотказной работы совпадет с законом Рэлея, при α »1 достаточно хорошо аппроксимируется нормальным законом распределения в окрестности среднего времени безотказной работы.

При соответствующем подборе параметра α можно с помощью закона Вейбулла описывать надежность и стареющих элементов (период старения и износа), у которых λ(t) возрастает, и надежность элементов, имеющих скрытые дефекты (период приработки), у которых λ(t) убывает с течением времени.

Математическое ожидание (среднее время) безотказной работы и дисперсия при распределении по закону Вейбулла:

T и.ср = Г(1+1/α) c-1/α, (5.49)

Д(Tи ) = c-2/α [Г(1+2/α) – Г2(1+1/α)]. (5.50)

где Г(х ) - гамма-функция .

Если известен закон распределения времени возникновения отказов изделий (например, подобран по опытным данным), можно рассчитать показатели безотказности изделий. Часто встречаются распределения Вейбулла, экспоненциальное, Рэлея и другие.

Распределение Вейбулла имеет два параметра: δ – параметр формы (не путать со среднеквадратическим отклонением) и λ –параметр масштаба (не путать с интенсивностью отказов).

В случае распределения Вейбулла интенсивность отказов

λ(t)= λδt δ-1

Три участка лямбла-характеристики на рис. 15.1 соответствуют распределениям Вейбулла с различными параметрами λ и δ . Так, в период приработки δ <1, в рабочей области δ =1 (при этом распределение Вейбулла соответствует экспоненциальному распределению), в области износа δ >1 (при δ =2 распределение Вейбулла соответствует рапределению Рэлея).

Пример 16.1. По экспериментальным данным найдено, что лямбда-характеристика выпускаемых предприятием изделий подобна показанной на рис. 15.1, и участки кривой соответствуют распределению Вейбулла с параметрами, указанными в табл. 16.1.

Фрагмент расчёта для примера 16.1 показан на рис. 16.1.

Рис.14.1. Фрагмент расчёта для примера 16.1.

Вводим значения параметра масштаба и соответствующие им значения параметра формы, а также столбец значений времени. Затем рассчитываем столбцы интенсивностей отказов на участке от 50 до 5000 ч с интервалом 50 ч при каждой из трёх пар параметров масштаба и формы. Строим графики всех трёх кривых (рис. 16.2).

Рис.16.2. Графики распределений Вейбулла.

Область приработки на лямбда-характеристике будет выше точки 1, рабочая область – между точками 1 и 2, область износа – выше точки 2.

Как видно из расчётных данных, рабочая область начинается примерно с 200 ч, когда интенсивность отказов в ней становится больше интенсивности отказов в области приработки. Заканчивается рабочая область примерно с 4000 ч, когда интенсивность отказов в ней становится меньше интенсивности отказов в области износа. Таким образом, для упорядочения нужных значений интенсивности отказов в столбец λ(t) копируем командой Копировать - Специальная вставка – Значения соответствующие диапазоны из столбцов Приработка , Раб. обл . и Износ . По этим значениям строим лямбда-характеристику.

Рис.16.3. Лямбда-характеристика.

Задание.

1. Выполнить пример 16.1.

Лабораторная работа № 17

Распределения Рэлея и экспоненциальное распределение

При расчёте показателей надёжности

Экспоненциальное распределение – частный случай распределения Вейбулла, когда δ =1. Экспоненциальное распределение имеет единственный параметр λ . При экспоненциальном распределении времени отказов изделий интенсивность отказов

λ(t)= λ=const

Р(t)=e -λ t

Средняя наработка до отказа

Т=1/ λ

Распределение Рэлея – частный случай распределения Вейбулла, когда δ =2. Распределение Рэлея имеет единственный параметр δ * . При этом интенсивность отказов

λ(t)=t/ δ * 2

Вероятность безотказной работы

Средняя наработка до отказа

Задание.

1. Выпускаемое предприятием изделие имеет экспоненциальное распределение времени возникновения отказов при интенсивности отказов 3∙10 -5 1/ч. Вычислить вероятность безотказной работы на участке от 0 до 20000 ч с интервалами 500 ч и построить график Р(t)

2. Выпускаемое предприятием изделие имеет распределение Рэлея времени возникновения отказов при параметре распределения δ * = 1000 ч. Вычислить вероятность безотказной работы на участке от 10 до 1000 ч с интервалами 10 ч и построить графики Р(t) и λ(t) . Рассчитать среднюю наработку до отказа.

Лабораторная работа № 18

Планирование испытаний методом однократной выборки

При планировании контрольных испытаний на надёжность методом однократной выборки определяют одноступенчатый план контроля, в который входят время испытаний t и , объем выборки n и приемочное число C . Приёмочное число – это максимально возможное число отказавших за время испытания изделий, при котором партия изделий считается годной.

При планировании учитывают либо интересы поставщика и заказчика - планирование по приемочному и браковочному уровням, либо интересы только заказчика - планирование по браковочному уровню.

При планировании по приемочному и браковочному уровням задают:

1. Приемлемое значение вероятности безотказной работы случайно выбранного из партии изделия Pα .

2. Соответствующий ему риск поставщика α - вероятность того, что годная партия будет забракована.

3. Минимальное значение вероятности безотказной работы Pβ , т.е. браковочное (гарантированное) значение вероятности безотказной работы (всегда Pα . > Pβ ).

4. Соответствующий ему риск заказчика β - вероятность того, что бракованная партия будет признана годной.

При планировании по браковочному уровню задают Pβ и β . Планирование по браковочному уровню используют внутри предприятий-поставщиков, чтобы убедиться в соответствии надёжности требованиям заказчика.

В методе однократной выборки из партии берется одна выборка. Если в ней число отказавших изделий d ≤ C , партия принимается, иначе бракуется. При этом, если не известен закон распределения показателя надежности, время испытаний t и берут равным гарантированному времени tr , на которое задана минимальная вероятность безотказной работы Pβ .

Значения n и C находят следующим образом.

Вероятность P(Q) принять партию в зависимости от доли дефектных изделий в партии Q при определённых значениях С, N (объём партии) и n описывается гипергеометрическим распределением. При n ≤ 0,1N , что обычно и имеет место на практике, вместо гипергеометрического распределения с хорошим приближением можно использовать биномиальное, расчёты по которому в Excel проще.

При планировании по браковочному уровню для заданной Pβ подбирают такие значения n и C , чтобы P(Q) , рассчитанная по биномиальному распределению, равнялась (была наиболее близка) риску поставщика β :

P(Q) = β (18.1)

Для конкретных заданных условий существует множество пар n и C , достаточно хорошо удовлетворяющих уравнению (18.1). Но С выбирают небольшим, поскольку при его увеличении резко возрастает объем выборки n . Однако обычно не принимают С = 0, поскольку это значение наиболее неблагоприятно для изготовителя.

При планировании по приемочному и браковочному уровням используют уравнение (18.1) и уравнение

P(Q) = 1-α (18.2)

Подбирают n и C , чтобы одновременно выполнялись (18.1) и (18.2). При этом для конкретных заданных условий существует пара минимально возможных значений n и C , наиболее хорошо удовлетворяющих (18.1) и (18.2).

Пример 18.1. На предприятии необходимо провести испытания партии производимых изделий, чтобы убедиться в соответствии надёжности изделий требованиям заказчика, которые составляют: минимальная вероятность безотказной работы 0,92 на 300 ч при риске поставщика 0,1.Найти план контроля надежности.

Возможный вариант выполнения примера 18.1 показан на рис. 18.1.

Вводим исходные данные Pβ и β , приёмочное число – например, 2 (потом при необходимости можно будет изменить это значение), а также столбец возможных значений объёма испытаний n (целесообразно хотя бы до 1000).

Рис.18.1. Вариант расчёта для примера 18.1.

Теперь необходимо найти то из значений n , при котором выполняется условие (18.1). Для этого рассчитываем значения вероятности приёмки партии P(Q) в зависимости от объёма испытаний, используя функцию БИНОМРАСП. Диалоговое окно, открывающееся при выборе функции БИНОМРАСП, имеет четыре строки для ввода данных:

Число_успехов. Судя по подсказке к этой строке, надо ввести количество успешных испытаний. Под количеством успешных испытаний в данном случае понимается количество элементов выборки, имеющих определённый признак. В нашем случае это максимально возможное количество дефектных изделий в выборке, при котором партия принимается, т.е. следует сделать ссылку на ячейку со значением приёмочного числа.

Число испытаний. Следует сделать ссылку на ячейку с величиной объёма испытаний (объёма выборки).

Вероятность_успеха. В нашем случае это вероятность того, что случайно выбранное из партии изделие будет бракованным, т.е. вероятность отказа, равная 1 - P β .

Интегральная. Поскольку партия принимается при любом количестве дефектных изделий в выборке от 0 до С, то функция биномиального распределения должна быть интегральной, следовательно, вводится значение истина .

В тех случаях, когда n < C , расчёты по функции БИНОМРАСП дадут ошибку (получается значение #ЧИСЛО!). В то же время, очевидно, что в этих строках P(Q)=1 .

Нужное значение n будет в той строке электронной таблицы, где P(Q) = β ,точнее, где абсолютное значение P(Q)-β минимально, поэтому рассчитываем соответствующие значения. Но, поскольку при n < C расчёты P(Q) дают ошибку, используем функцию ЕСЛИ. При истинности логического условия n < С задаём значение 1 - β . При ложности логического условия находим модуль (функция ABS) P(Q) - β .

Получив столбец значений |P(Q)-β| , можно уже визуально найти в нём минимальное значение и соответствующий ему объём испытаний. Но для автоматизации расчётов следует найти нужный номер строки с использованием формулы массива, как это сделано в лабораторной работе № 2. Напоминание: чтобы введённая формула была формулой массива, нажимаем сочетание клавиш CTRL+SHIFT+ENTER (формула CSE), после чего формула будет заключена в фигурные скобки. При этом ввод фигурных скобок с клавиатуры не даст нужного результата. Кроме того, при каждом переводе курсора в строку формулы массива необходимо заново нажимать CTRL+SHIFT+ENTER, иначе формула уже не будет восприниматься как формула массива.

По номеру строки рассчитываем объем испытаний. Так, по рисунку 18.1, от найденного номера строки отнимаем 3, поскольку значения в столбцах начинаются только с четвёртой строки.

При приемочном числе 2 получаем необходимый объём испытаний 65. Таким образом, план контроля надёжности: n = 65, C = 2, t и = 300 ч.

Но можно задать любое другое приёмочное число и получить соответствующий ему объём испытаний.

Пример 18.2. Найти план контроля надёжности партии изделий по приемочному и браковочному уровням, если задано: Р α = 0,96, α = 0,1, Р β = 0,92, β = 0,1 на 300 ч испытаний.

Возможный вариант выполнения примера 18.2 показан на рис. 18.2.

Рис.18.2. Вариант расчёта для примера 18.2.

Вводим исходные данные Pα , α, Pβ и β , любое приёмочное число – например, 2 (потом это значение), а также столбец возможных значений объёма испытаний n (целесообразно хотя бы до 4000). Рассчитываем столбцы значений P(Q) α , |P(Q) α -1+α|, P(Q) β, |P(Q) β -β|. Значения P(Q) α и P(Q) β рассчитываем с помощью функции БИНОМРАСП, при этом в диалоговом окне функции, в строке Вероятность_успеха, вводим 1 - P α или 1 – P β , в зависимости от столбца. Далее при помощи формул массива, в соответствии с (16.1) И (16.2), находим номера строк, в которых соответственно абсолютные значения P(Q) α -1+α и P(Q) β -β минимальны (наиболее близки к нулю). По этим номерам строк находим объёмы выборок n α и n β , обеспечивающих заданные α и β , а также модуль разности между ними. Затем подбираем такое значение приёмочного числа (минимальное из возможных), чтобы этот модуль разности был минимален (чаще всего от 0 до 4). В план контроля надёжности (план испытаний) войдут подобранное значение приёмочного числа и одно из найденных значений n α и n β или одно из промежуточных между ними значений. Можно принять в качестве объёма испытаний n среднее между nα и nβ . При этом реальные риски поставщика и потребителя будут несколько отличаться от заданных.

В нашем примере получим план контроля надёжности: n = 218, C = 12, t и = 300 ч.

Задание.

1. Выполнить расчёты в соответствии с примером 18.1 при различных значениях приёмочного числа, минимальной вероятности безотказной работы и риска потребителя, указанных в табл. 18.1. Результаты занести в таблицу 18.1 на отдельном листе электронной книги. Сделать выводы о том, как влияют на объём испытаний увеличение приёмочного числа, минимальной вероятности безотказной работы и риска потребителя.

Таблица 18.1.

2. Выполнить расчёты в соответствии с примером 18.2 при различных значениях приемлемой вероятности безотказной работы, минимальной вероятности безотказной работы, риска изготовителя и риска потребителя, указанных в табл. 18.2. Результаты занести в таблицу 18.2 на отдельном листе электронной книги. Сделать выводы о том, как влияют на объём испытаний и приёмочное число увеличение приемлемой вероятности безотказной работы, минимальной вероятности безотказной работы, риска изготовителя и риска потребителя

Таблица 18.2.

Лабораторная работа № 19

Последовательный план испытаний

В последовательном плане количество испытываемых изделий или время испытаний заранее не задаётся, а зависит от исхода наблюдений. Изделие или несколько изделий (в соответствии с программой испытаний) подвергают испытаниям. Затем по полученным результатам принимают одно из трёх решений: о приёмке партии, об отбраковке партии или о продолжении испытаний. В случае продолжения испытаний последовательно суммируют число наблюдений n и число отказов r . По результатам суммирования наблюдений и отказов строят график (рис. 19.1)

Рис.19.1. График последовательного плана испытантий

На рисунке 19.1 линии 1 и 2 - границы браковки, 3 и 4 - границы приемки, 5 - линия реализации процесса отказов, n - суммарное число наблюдений (испытанных изделий) на данный момент испытаний, r - суммарное число отказов на данный момент испытаний, c - предельное (браковочное) суммарное число отказов, N - максимально возможное (допустимое) число наблюдений до принятия решения о приемке или браковке. Значения с и N могут быть найдены методом однократной выборки (см. пример 18.2, где они соответственно обозначены С и n ).

Например, по данному графику, на первом этапе испытывалось n 1 изделий, и было r 1 отказов, на первом и втором этапе суммарно испытывалось n 2 изделий и было r 2 отказов, и т.д. Если на некотором этапе испытаний линия 5 пересечёт линии 1 или 2, партия бракуется. Если линия 5 пересечёт линии 3 или 4, партия считается годной.

Линия несоответствия (браковки) 1 рассчитывается по уравнению r = an+r 0 .

Линия соответствия (приемки) 4 рассчитывается по уравнению r = a(n-n 0) .

Здесь D = (1 - P β)(1-P α)

При использовании в качестве линий приёмки и браковки только линий 1 и 4 получается неусеченный последовательный план, при использовании также линий 2 и 3 - усечённый последовательный план.

Последовательный план может быть реализован также аналитически, т.е. без построения графика. При этом на некотором этапе испытаний партию считают бракованной при выполнении одного из условий:

r > an+r 0 (19.1)

r > с (19.2)

Партию считают годной при выполнении одного из условий:

r < a(n-n 0) (19.3)

n > N (19.4)

При невыполнении ни одного этих условий испытания продолжают.

Преимущество последовательного плана по сравнению с одноступенчатым (однократной выборкой) - минимизация среднего числа наблюдений. Экономия испытываемых изделий может достигать 40% и более по сравнению с одноступенчатым планом. Однако последовательный план неустойчив к возможной приработке изделий в начале испытаний, в результате чего результате возрастает риск поставщика.

Пример 19.1. Проводятся испытания партии изделий по последовательному плану. На каждом этапе на испытания ставится n i = 5 изделий. Заданы Р α = 0,95, α = 0,1, Р β = 0,9, β = 0,1. Количество отказавших изделий последовательно по этапам r i составило: 1 0 2 0 0 0 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 1 1 0 0 2 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1. На каком этапе следовало закончить испытания, и с каким результатом? Найти решение аналитически и графически.

Фрагмент выполнения примера 19.2 показан на рис. 19.2.

Рис.19.2. Вариант расчёта для примера 19.2.

Вводим исходные данные, рассчитываем D, a, r 0 , n 0 . Затем в электронной таблице, созданной в примере 18.2, рассчитываем с и N (в примере 18.2 С и n ) и вводим их значения в электронную таблицу. (следует отметить, что в ГОСТ Р 27.403-2009 «Планы испытаний для контроля вероятности безотказной работы» приводятся более высокие значения с и N ). Вводим значения номеров этапов испытаний в столбцеi (с учётом возможности пересчёта по другим данным примерно до 1000). Находим последовательную сумму испытаний по формуле n = i∙n i . Вводим значения r i . Далее рассчитываем столбец r . Для этого в первой ячейке G4 делаем ссылку на ячейку F4. Во второй ячейке столбца (что соответствует второму этапу испытаний) суммируем значение в предыдущей ячейке G4 и число отказов на данном этапе. Полученную формулу из этой ячейки копируем в остальные ячейки столбца r .

Далее заполняем столбцы БРАК? и ГОДНАЯ? . В столбце БРАК? используем функцию ЕСЛИ. В диалоговом окне этой функции вводим логическое выражение (19.1), и, заключив его в скобки, добавляем функцию ИЛИ. В открывшемся диалоговом окне этой функции вводим логическое выражение (19.2). Затем устанавливаем курсор в строке формул на слово ЕСЛИ. В открывшемся диалоговом покне функции ЕСЛИ при истинности логических выражений (19.1) или (19.2) выводим сообщение «Брак» (т.е. партия бракуется). При ложности этих выражений выводим сообщение «Дальше» (т.е. испытания следует продолжить). В столбце ГОДНАЯ? также используем функцию ЕСЛИ, аналогично тому, как это сделано для столбца БРАК? , с использованием логических выражений (10.3) и (19.4). При истинности (19.3) или (19.4) выводим сообщение «Годная» (т.е. партия признаётся годной). При ложности этих выражений выводим сообщение «Дальше» (т.е. испытания следует продолжить).

Если в строке электронной таблицы с меньшим номером появится сообщение «Брак», партия бракуется. Если же в строке электронной таблицы с меньшим номером появится сообщение «Годная», партия признаётся годной.

Для графического решения вводим в электронную таблицу столбцы Линия 1 и Линия 4 . В верхних ячейках столбцов Линия 1 и Линия 4 рассчитываем соответствующие значения и опируем полученные формулы до конца столбцов (не забыть проставить абсолютную адресацию). Затем строим диаграмму Точечная диаграмма, на которой значения соединены отрезками . В диаграмму включаем значения в столбцах n , r , Линия 1 и Линия 4 . Максимальные значения шкал n и r с помощью контекстного меню ограничиваем значениями соответственно N и с, что ограничит рамки графика линиями 2 и 3.

Полученный график показан на рис. 19.3.

Рис.19.3. Графическое решение примера для примера 19.2.

Как видно из графика, линия 5 пересекает линию 1, поэтому партию следует считать бракованной. Наведя указатель мыши на точку пересечения линии 1 линией 5, можно по всплывающей подсказке определить, при каком n следует завершить испытания.

Задание.

1. Выполнить расчёты в соответствии с примером 19.1.

2. Проводятся испытания партии изделий по последовательному плану. Заданы Р α = 0,97, α = 0,1, Р β = 0,92, β = 0,1. Количество испытываемых на каждом этапе изделий n i и количество отказавших изделий последовательно по этапам r i показано в таблице 19.1. Определить аналитически, на каком этапе следовало закончить испытания, и с каким результатом? Занести результаты в табл. 19.1.

Таблица 19.1.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Кобзарь А.И. Прикладная математическая статистика. Для инженерных и научных работников.- М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. – 816 с.

Степнов М.Н. Статистические методы обработки результатов механических испытаний: Справочник. – М.: Машиностроение, 1985. – 232 с.

Метрологическое обеспечение испытаний продукции для целей подтверждения соответствия: Методическое пособие. – М: ВНИИМС, 2003.

Смирнов Н.В., Дунин-Барковский И.В. Курс теории вероятностей и математической статистики для технических приложений. - М.: Наука, 1969. – 512 с.

Тюрин Ю.Н. Непараметрические методы статистики. - М.: Знание, 1978. – 64 с.

Тейлор Дж. Введение в теорию ошибок. Пер. с англ. – М.: Мир, 1985. – 272 с.

Хан Г., Шапиро С. Статистические модели в инженерных задачах: Пер. с англ. – М.: Мир, 1969. - 400 с.

Глудкин О.П. Методы и устройства испытания РЭС и ЭВС. – М.: Высш. школа., 2001. – 335 с.

Млицкий В.Д., Беглария В.Х., Дубицкий Л.Г. Испытание аппаратуры и средств измерений на воздействие внешних факторов. М.: Машиностроение, 2003. – 567 с.

Испытания радиоэлектронной, электронно-вычислительной аппаратуры и испытательное оборудование/ под ред. А.И.Коробова М.: Радио и связь, 2002. – 272 с.

Сергеев А.Г. Метрология: Учебник. – М.: Логос, 2005. – 272 с.

Федоров В., Сергеев Н., Кондрашин А. Контроль и испытания в проектировании и производстве радиоэлектронных средств – Техносфера, 2005. – 504с.

Острейковский В.А. Теория надёжности: Учебник для вузов. - М.: Высш. шк. , 2003. - 463 с.

Надежность технических систем: Справочник. Ю. К. Беляев, В. А. Богатырев, В. В. Болотин и др.; Под ред. И. А. Ушакова. - М.: Радио и связь, 1985.- 608 с.

Котеленец Н.Ф., Кузнецов Н.Л. Испытания и надежность электрических машин: Учебное пособие. - М.: Высш. шк., 1988. - 232 с.

Заляжных В.В., Коптелов А.Е.Статистические методы контроля и управления качеством: Учебное пособие. – Архангельск: Изд-во Архангельского государственного технического университета, 2004. - 88 с.

ГОСТ Р 27.403-2009 Надежность в технике. Планы испытаний для контроля вероятности безотказной работы.

Долженков В.А., Колесников Ю.В. Microsoft Excel 2002 в подлиннике. СПб.: БХВ-Петербург, 2002. – 1072 с.

ВВЕДЕНИЕ……………………………………………………...……….3

ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ…………………………………………4

ОЦЕНКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИСПЫТАНИЙ…………………………….5

Лабораторная работа № 1. Точечные и интервальные оценки……..5

Лабораторная работа № 2. Определение объёма испытаний………10

Лабораторная работа № 3. Проверка приемлемости результатов

испытаний………………………………………………………………..17

ИСКЛЮЧЕНИЕ ГРУБЫХ ОШИБОК…………………………………25

Лабораторная работа № 4. Критерий Н.В. Смирнова………………25

Лабораторная работа № 5. Критерий Диксона……………………...32

Лабораторная работа № 6. Критерий Ирвина……………………….37

Лабораторная работа № 7. Критерий Шовене………………………39

Лабораторная работа № 8. Критерий Романовского………………..41

ОЦЕНКА ВИДА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ……………………………………………43

Лабораторная работа № 9. Критерий Шапиро-Уилка………………43

Лабораторная работа № 10. Критерий омега-квадрат……………...47

Лабораторная работа № 11. Критерий Колмолгорова…………..…53

Лабораторная работа № 12. Проверка гипотезы

нормальности по совокупности выборок……………………………...56

Лабораторная работа № 13. Оценка вида распределения

графическим способом………………………………………………….62

Лабораторная работа № 14. Оценка вида распределения

по асимметрии и эксцессу……………………………………………....64

ИСПЫТАНИЯ НА НАДЁЖНОСТЬ…………………………………...66

Лабораторная работа № 15. Определение показателей

безотказности по опытным данным……………………………………66

Лабораторная работа № 16. Распределение Вейбулла

при расчёте показателей надёжности……………………………….…70

Лабораторная работа № 17. Распределения Рэлея и

экспоненциальное распределение при расчёте

показателей надёжности………………………………………………..72

Лабораторная работа № 18. Планирование испытаний

методом однократной выборки………………………………………...73

Лабораторная работа № 19. Усечённый последовательный план

испытаний на надёжность………………………………………………80

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ………………………………………………85