Класса МОУ « Грабцевская СОШ », учитель: Краузе Татьяна Валентиновна.". Скачать бесплатно и без регистрации

Диалоги о параболе МБОУ Игримская СОШ №2, Салий Татьяна Анатольевна, учитель математики

Цели и задачи урока: Повторить свойства квадратичной функции. Показать связь квадратичной функции и её графика с реальным миром. Систематизировать знания по применению свойств параболы.

Определение. Функция вида у = ах 2 + b х+с, где а, b, c – заданные числа, а≠0, х – действительная переменная, называется квадратичной функцией. Примеры: 1) у = 5х+1 4) у =x 3 +7x-1 2) у=3х 2 -1 5) у=4х 2 3) у=-2х 2 +х+3 6) у=-3х 2 +2х

 Определить координаты вершины параболы.  Уравнение оси симметрии параболы.  Нули функции.  Промежутки, в которых функция возрастает, убывает.  Промежутки, в которых функция принимает положительные значения, отрицательные значения.  Каков знак коэффициента a ?  Как зависит положение ветвей параболы от коэффициента a ?

Вершина параболы: Задание. Найти координаты вершины параболы: 1) у = х 2 -4х-5 2) у=-5х 2 +3 Ответ:(2;-9) Ответ:(0;3) Уравнение оси симметрии: х=х 0

Координаты точек пересечения параболы с осями координат. С Ох: у=0 ах 2 + b х+с=0 С Оу: х=0 у=с Задание. Найти координаты точек пересечения параболы с осями координат: 1)у=х 2 -х; 2)у=х 2 +3; 3)у=5х 2 -3х-2 (0;0);(1;0) (0;3) (1;0);(-0,4;0);(0;2)

Тест. (-1;1) (- ∞ ;0) (1; ∞) (-∞;∞) (-1;0) х≠-1 Нет значений х у 0 у > 0 у

Построить график функции и по графику выяснить ее свойства. У = -х 2 -6х-8 Свойства функции: у > 0 на промежутке у

График квадратичной функции -Парабола Пара́бола (греч. παραβολή - приложение) - геометрическое место точек, равноудалённых от данной прямой (называемой директрисой параболы) и данной точки (называемой фокусом параболы).

Свойства Парабола - кривая второго порядка. Она имеет ось симметрии, называемой осью параболы. Ось проходит через фокус и перпендикулярна директрисе. Если фокус параболы отразить относительно касательной, то его образ будет лежать на директрисе. Парабола является антиподерой прямой. Все параболы подобны. Расстояние между фокусом и директрисой определяет масштаб. При вращении параболы вокруг оси симметрии получается эллиптический параболоид. у > 0

Фокус Архимеда Этот день 212 года до н.э. уцелевшим римлянам запомнился на всю жизнь. Почти полтысячи маленьких солнц вдруг загорелись на крепостной стене. Сначала они просто ослепили, но через некоторое время произошло нечто фантастическое: передовые римские корабли, подошедшие к Сиракузам, один за другим вдруг начали вспыхивать, как факелы. Бегство римлян было паническим...

Согласно легенде, Архимед из Сиракуз сжёг флот римлян, обороняя свой город с помощью параболических зеркал. Свойства таких зеркал применяют при конструировании солнечных печей, телескопов и др.

Чудесная парабола Люблю я петь и веселиться, В весёлом танце покружиться. Когда вокруг оси вращаюсь, Фигурой важной обращаюсь. А кавалеры подбегают, К автомобилю провожают. И каждый хочет пригласить – На крыше дома погостить. Загадка

Тело, брошенное вверх, движется по параболе. Пусть мяч подбросили вертикально вверх с высоты 1,5 м, придав ему начальную скорость 10м/с ² . Тогда высота h (в м), на которой находится мяч, есть квадратичная функция времени полета t (в с). Если считать, что g =10 м/с, то функцию h= f(t) можно описать формулой h= 1,5+10t-5 t ² . График этой функции - часть параболы.

Применение свойств параболы при решении задач повышенной сложности. 1. Сколько корней имеет уравнение: (х -100)(х -101)+(х - 101)(х -102)+(х -102)(х -100)=0?

Назад Вперёд

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Цели урока: воспроизведение и коррекция необходимых знаний и умений по данной теме;

Тип урока: урок закрепления и проверки знаний, умений, навыков учащихся.

Оборудование:

• презентация PowerPoint;
• чертежные инструменты.

I . Историческая справка. (Слайд 2)

Аполлоний Пергский ( Перге, 262 до н.э. - 190 до н.э.) - древнегреческий математик, один из трёх (наряду с Евклидом и Архимедом) великих геометров античности, живших в III веке до н.э.

Аполлоний прославился в первую очередь монографией “Конические сечения” (8 книг), в которой дал содержательную общую теорию эллипса, параболы и гиперболы. Именно Аполлоний предложил общепринятые названия этих кривых; до него их называли просто “сечениями конуса”. Он ввёл и другие математические термины, латинские аналоги которых навсегда вошли в науку, в частности: асимптота, абсцисса, ордината, аппликата.

“Парабола” означает приложение или притча. Долгое время так называли линию среза конуса, пока не появилась квадратичная функция.

Применение свойств параболы в жизни.

Оказывается, что парабола график квадратичной функции - обладает вот каким интересным свойством: есть такая точка и такая прямая, что каждая точка параболы одинаково удалена от этой точки и от этой прямой (точку называют фокусом параболы, а прямую - ее директрисой). Это свойство параболы было известно уже математикам античной Греции.

Камень, брошенный под углом к горизонту, или снаряд, выпущенный из пушки, летят по траектории, имеющей форму параболы.

Если вращать параболу вокруг ее оси симметрии, то получится поверхность, которую называют параболоидом вращения. Если сильно размешать ложечкой воду в стакане, а потом вынуть ложечку, то поверхность воды примет форму такого параболоида.

А вот еще одно любопытное свойство: если параболоид вращения поворачивать вокруг его оси с подходящей скоростью, то равнодействующая центробежной силы и силы тяжести в каждой точке параболоида будет направлена перпендикулярно его поверхности.

На этом свойстве основан забавный аттракцион: если вращать большой параболоид, то каждому из людей, разместившихся внутри него, кажется, что он сам твердо стоит на полу, а все остальные люди каким-то чудом держатся на стенках.

II. Обобщение знаний о расположении графика параболы. (Слайд 3-5)

Рассматривая параболу …

В этом разделе мы покажем, как можно получить массу информации о коэффициентах квадратного трехчлена у =ах 2 + bх + с, рассматривая его график - параболу.

Сначала напомним хорошо известные факты.

1) Знак коэффициента а (при х 2) показывает направление ветвей параболы:

а > О - ветви вверх;

а < 0 - ветви вниз.

Модуль коэффициента, а отвечает за “крутизну”

параболы: чем больше тем “круче” парабола.

Решить упражнение 1 . (Слайд 6, 7)

Для каждого из квадратных трехчленов:

2) Коэффициент b (вместе с а) определяет абсциссу вершины параболы:

В частности, при а = 1 абсцисса вершины квадратного трехчлена у =х 2 + bх +с равнa .

При b > 0 вершина расположена левее оси Оу, при b < 0 - правее, при b = 0 - на оси Оу .

Решить упражнение 2 . (Слайд 8, 9)

Для каждого их квадратных трехчленов:

найдите на чертеже его график.

3) Сохраняя коэффициенты а и b и изменяя с , мы будем “поднимать” и “опускать” параболу. Как “прочитать” на чертеже значение с ?

Ясно, что с = y (0) -ордината точки пересечения параболы с осью Оу.

Решить упражнение 3 . (Слайд 11, 12)

а) Где какой график?

б) Что больше: с или 1 ?

в) Определите знак b .

Решить упражнение 4 . (Слайд 13, 14)

На чертеже изображены графики функций:

причем ось Оу , идущая, как всегда, “снизу вверх” перпендикулярно оси Ох , стерта.

а) Какая функция имеет график 1, а какая - 2?

б) Определите знаки c и d.

в) Определите знак b.

Решить упражнение 5 . (Слайд 15, 16)

На чертеже изображены графики функций:

у = х 2 + 4х + с,

у = х 2 + bx + d и у = х 2 + 1,

причем ось Ох , идущая, как всегда, “слева направо” перпендикулярно оси Оу , стерта.

а) Какая функция имеет график 1, какая - 2, а какая - 3?

б) Определите знак Ь .

в) Что больше: с или d ?

г) Определите знаки с и d .

Решить упражнение 6 . (Слайд 17–19)

На чертеже изображены графики функций:

у = ах 2 + х + с,

у = –х 2 + bх + 2

причем оси Оу и Ох, расположенные стандартным образом (параллельно краям листа, Ох - горизонтально “слева направо”, Оу - вертикально (“снизу вверх”), стерты.

а) Определите знак b .

б) Определите знак с.

в) Докажите, что:

• решение упражнений основывается на тех фактах, которые мы знаем о коэффициентах квадратного трехчлена;
• сойства параболы чрезвычайно богаты и разнообразны, используя их решите задачу.

Задача (слайд 20, 21).

Известно, что парабола, являющаяся графиком квадратного трехчлена у = ах 2 + 10х + с, не имеет точек в третьей четверти.

Какое из следующих утверждений может быть неверным?

(A) а>0

(B) Вершина параболы лежит во второй четверти.

(C) с > 0

(Е) 1ОО – 4 ас < 0.

Поскольку парабола не имеет точек в III четверти, то не может быть отрицательным. Итак, a > 0, следовательно, абсцисса вершины х 0 < 0. То есть вершина не может лежать ни в I, ни в IV четвертях. В III четверти ее нет по условию, значит, она лежит во II четверти. Итак, парабола обязана иметь такой вид, как показано на рисунке, поэтому условия А, В и С обязательно выполняются. Неравенство в Е означает, что дискриминант неположителен, то есть у квадратного трехчлена не более одного корня, - это условие тоже обязательно выполняется. Условие с > 0,1 ни из чего не следует.

Действительно, оно может быть нарушено, например, для параболы у = х 2 + 10х + 0,01, удовлетворяющей условиям задачи.

Ответ: (D).

У этого термина существуют и другие значения. (Литература)

Парабола – “сравнение, сопоставление, подобие, приближение”.

Небольшой рассказ иносказательного характера, имеющий поучительный смысл и особую форму повествования, которое движется как бы по кривой (параболе): начатый с отвлечённых предметов, рассказ постепенно приближается к главной теме, а затем вновь возвращается.

ПАРАБОЛА.

РОДСТВЕННИКИ ПАРАБОЛЫ -

БЛИЖНИЕ И ДАЛЬНИЕ

Сильченко Ольга, Изотова Анна

ученицы 9 класса МБОУ Страшевичская СОШ

учитель: Самолысова Татьяна Васильевна

Цель проекта:

изучить одну из кривых второго порядка (параболу) и сферы её применения.

Задачи проекта:

1.Дать математическое определение параболы.

2. Изучить свойства параболы.

3. Выяснить, почему параболу называют коническим сечением.

4.Найти сведения о «родственниках» параболы

5. Выявить области применения параболы

Всем нам хорошо знаком квадратный трехчлен, про который казалось бы, мы все знаем: и как корни находить, и как график строить, и как неравенства квадратичные решать... Но это поспешное суждение - у нашего старого знакомого есть немало секретов и сюрпризов!

Пара́бола (греч. παραβολή - приложение) -кривая, точки которой одинаково удалены от некоторой точки, называемой фокусом, и от некоторой прямой, называемой директрисой параболы.

Парабола - это сечение конуса плоскостью, параллельной его образующей.

Еще один способ построения

Оказывается, что парабола – график квадратичной функции – обладает интересным свойством: есть такая точка и такая прямая, что каждая точка параболы одинаково удалена от этой точки и от этой прямой (точку называют фокусом параболы, а прямую – директрисой). Это свойство параболы было известно еще математикам античной Греции. Для графика функции у = х 2 фокусом служит точка с координатами (0;0,25), а директрисой – прямая у = -0,25.

Попробуйте придумать, как можно строить параболу, используя это свойство.

Свойства параболы

1. Парабола - кривая второго порядка.

2. Она имеет ось симметрии, называемой осью параболы. Ось проходит через фокус и вершину перпендикулярно директрисе.

3.Оптическое свойство. Пучок лучей, параллельных оси параболы, отражаясь в параболе, собирается в её фокусе. И наоборот, свет от источника, находящегося в фокусе, отражается параболой в пучок параллельных её оси лучей.

4. Для параболы фокус находится в точке (0; 0.25).

Для параболы фокус находится в точке (0; f).

5.Все параболы подобны. Расстояние между фокусом и директрисой определяет масштаб.

Самые близкие родственники параболы – это окружность , гипербола и эллипс.

А роднит все эти кривые обыкновенный конус:

провести плоскость, которая параллельна оси конуса,

то линией пересечения окажется гипербола

• если плоскость перпендикулярна оси, то пересечение – окружность ,

• если плоскость расположить между последними двумя,

то в пересечении получится эллипс.

если плоскость параллельна образующей конуса, то в пересечении получится парабола ,

Поэтому все эти кривые вместе называют коническими сечениями.

Уже в 340 году до нашей эры греческий математик Менехм знал о таком свойстве этих кривых, а во втором веке до нашей эры Аполлоний из Перги написал подобный трактат «Конические сечения».

Циклоида.

Еще одна знаменитая родственница параболы - циклоида. Это траектория точки обода колеса, которое катится без скольжения по прямой. Такое название дал кривой Галилей. Если спускаться на санках с горки построенной в виде циклоиды, то время спуска не зависит от того, с какого места начали катиться санки. Но зато спуск с той же высоты по горке любой другой формы займет больше времени. Из-за этого свойства циклоиду еще называют «брахистохроной» (от греческих слов, означающих «кратчайший» и «время»).

Параболоид вращения.

Если вращать параболу вокруг ее оси вращения то получится поверхность, которую называют параболоидом вращения.

Если сильно размешать ложечкой воду в стакане, а потом вынуть ложечку, то поверхность воды примет форму такого параболоида.

Использование параболоидов в технике

Параболоид вращения фокусирует пучок лучей, параллельный главной оси, в одну точку.

Часто используется свойство параболоида вращения собирать пучок лучей, параллельный главной оси, в одну точку - фокус, или, наоборот, формировать параллельный пучок излучения от находящегося в фокусе источника.

На этом принципе основаны параболические антенны, телескопы-рефлекторы, прожекторы, автомобильные фары.

Использование параболоидов в технике

Телескопы-рефлекторы

Прожектор

Автомобильные фары

Солнечная зажигалка

Оригинальный способ использования энергии Солнца. Солнечная зажигалка представляет собой параболическое зеркало из нержавеющей стали, почти такое же, как то, которое используется для зажигания Олимпийского огня в Афинах.

Параболическое зеркало дает возможность собрать всю энергию в одной фокусной точке и зажечь огонь. Температура в этой точке может достигать 537-ми градусов по Цельсию. Такое устройство будет незаменимо в походе и в других полевых условиях.

Параболы в физическом пространстве

Параболическая орбита и движение спутника по ней

Падение баскетбольного мяча

Параболическая солнечная электростанция в Калифорнии, США.

Парабола в природе

Парабола. Её форма невероятна, как, впрочем, и высота. Некоторые люди

до сих пор не верят в существование этой странной скалы. Так и говорят:

“ Нет ни бога, ни Параболы. А то, что показывают – это фотошоп.”

Парабола в живой природе

Несомненно заблуждается тот, кто считает, что параболу можно встретить только на страницах учебника. Внимательно посмотрите на рисунки и найдите в них параболы.

Сами выполните несколько рисунков листьев, цветов,животных и найдите в них параболы.

Параболы в животном мире

Траектории прыжков животных близки к параболе

Итоги

В ходе работы над данным проектом :

1. Сформулировано строгое математическое определение параболы.

2. Рассмотрен способ построения параболы.

3. Изучены некоторые свойства параболы.

4. Выявлена связь между понятиями «парабола» и «конические сечения», найдены родственники параболы.

5. Определены сферы применения параболы(физика, техника, астрономия, архитектура и др.).

6. Подтверждена значимость математики в окружающем мире.

Список использованных источников:

1. Энциклопедический словарь юного математика. Составитель А.П.Савин, М, Педагогика, 1982 год.

2. Энциклопедия для детей, том 11, "Математика", М, "Аванта+", 1998 год.

3. Математический клуб "Кенгуру", "Вокруг квадратного трехчлена" СПб, 2002 год.

4. Сайт http://www/uvlekat - matem.narod.ru/

5.Сайт www.bigpi.biysk.ru

6.Сайт ru.wikipedia.org › Коническое сечение

Презентация на тему: Парабола и ее свойства Выполнил: Ученик 10 б класса Гречкин Ярослав Учитель Шамсутдинова Р.Р. Школа

Парабола. Фокус. Директриса Парабола - геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых расстояние до фиксированной точки этой плоскости, называемой фокусом, равно расстоянию до фиксированной прямой, лежащей в той же плоскости и называемой директрисой параболы. Парабола – кривая второго порядка. Фокус – произвольная точка параболы. Директриса – прямая, лежащая в плоскости параболы и обладающая тем свойством, что отношение расстояния от любой точки кривой до фокуса кривой к расстоянию от той же точки до этой прямой есть величина постоянная, равная эксцентриситету. Эксцентриситет – числовая характеристика конического сечения.

Историческая справка Открывателем конических сечений предположительно считается Менехм (4 в. до н.э.), ученик Платона и учитель Александра Македонского. Менехм использовал параболу и равнобочную гиперболу для решения задачи об удвоении куба. Трактаты о конических сечениях, написанные Аристеем и Евклидом в конце 4 в. до н.э., были утеряны, но материалы из них вошли в знаменитые Конические сечения Аполлония Пергского (ок. 260–170 до н.э.), которые сохранились до нашего времени. Аполлоний отказался от требования перпендикулярности секущей плоскости образующей конуса и, варьируя угол ее наклона, получил все конические сечения из одного кругового конуса, прямого или наклонного. Аполлонию мы обязаны и современными названиями кривых – эллипс, парабола и гипербола. В своих построениях Аполлоний использовал двухполостной круговой конус. Со времен Аполлония конические сечения делятся на три типа в зависимости от наклона секущей плоскости к образующей конуса. Парабола образуется, когда секущая плоскость параллельна одной из касательных плоскостей конуса. Фокусы эллипса и гиперболы были известны еще Аполлонию, но фокус параболы, по-видимому, впервые установил Папп (2-я пол. 3 в.), определивший эту кривую как геометрическое место точек, равноудаленных от заданной точки (фокуса) и заданной прямой, которая называется директрисой. Построение параболы с помощью натянутой нити, основанное на определении Паппа, было предложено Исидором Милетским (6 в.).

Вывод уравнения параболы Чтобы получить уравнение кривой, соответствующей этому определению, введем подходящую систему координат. Для этого из фокуса F опустим перпендикуляр FD на директрису l. Начало координат O расположим на середине отрезка FD, ось направим вдоль отрезка FD так, чтобы ее направление совпадало с направлением вектора. Ось проведем перпендикулярно оси. Пусть расстояние между фокусом и директрисой параболы равно p. Тогда в выбранной системе координат парабола имеет уравнение

Вывод уравнения параболы В выбранной системе координат фокусом параболы служит точка, а директриса имеет уравнение. Пусть текущая точка параболы. Тогда по формуле для плоского случая находим Расстоянием от точки M до директрисы l служит длина перпендикуляра MK, опущенного на директрису из точки M. Из рисунка очевидно, что Тогда по определению параболы MK=FM,то есть: Каноническое уравнение параболы

Свойства параболы Парабола имеет ось симметрии. Доказательство: Переменная y входит в уравнение только во второй степени. Поэтому, если координаты точки M (x ; y) удовлетворяют уравнению параболы, то и координаты точки N (x ; – y) будут ему удовлетворять. Точка N симметрична точке M относительно оси Ox. Следовательно, ось Ox является осью симметрии параболы в канонической системе координат. Ось симметрии называется осью параболы. Точка пересечения параболы с осью называется вершиной параболы. Вершина параболы в канонической системе координат находится в начале координат.

Свойства параболы Пусть F фокус параболы, M произвольная точка параболы, l луч с началом в точке параллельный оси параболы. Тогда нормаль к параболе в точке M делит угол, образованный отрезком FM и лучом l, пополам. Это свойство означает, что луч света, вышедший из фокуса, отразившись от параболы, дальше пойдет параллельно оси этой параболы. И наоборот, все лучи, приходящие из бесконечности и параллельные оси параболы, сойдутся в ее фокусе. Это свойство широко используется в технике. В прожекторах обычно ставят зеркало, поверхность которого получается при вращении параболы вокруг ее оси симметрии (параболическое зеркало). Источник света в прожекторах помещают в фокусе параболы. В результате прожектор дает пучок почти параллельных лучей света. Это же свойство используется и в приемных антеннах космической связи и в зеркалах телескопов, которые собирают поток параллельных лучей радиоволн или поток параллельных лучей света и концентрируют его в фокусе зеркала.

Построение параболы Для того чтобы нарисовать параболу, потребуется линейка, угольник, нить длиной, равной большему катету угольника, и кнопки. Прикрепим один конец нити к фокусу, а другой - к вершине меньшего угла угольника. Приложим линейку к директрисе и поставим на нее угольник меньшим катетом. Карандашом натянем нить так, чтобы его острие касалось бумаги и прижималось к большему катету. Будем перемещать угольник и прижимать к его катету карандаш так, чтобы нить оставалась натянутой. При этом карандаш будет вычерчивать на бумаге параболу.

Построение параболы Если изготовить зеркальную поверхность в форме параболоида и поместить в ее фокус источник света, то лучи света, отразившись от зеркальной поверхности, пойдут в одном направлении, перпендикулярном директрисе параболы. Поэтому отражающие поверхности прожекторов, автомобильных фар, карманных фонариков, телескопов, параболических антенн и т.д. изготавливают в форме параболоида.