Умножение многочлена на одночлен — Гипермаркет знаний. Умножение многочлена на одночлен

НР МОБУ «Пойковская средняя общеобразовательная школа №2»

Открытый урок по алгебре в 7 классе

по теме:

«Умножение одночлена на многочлен»

Учителя математики

Лимарь Т. А.

г. п. Пойковский, 2014

Методическая информация

Тип урока

Урок «открытия» нового знания

Цели урока (образовательные, развивающие, воспитательные)

Деятельностная цель урока : формирование у учащихся способностей к самостоятельному построению новых способов действия по теме «Умножение одночлена на многочлен» на основе метода рефлексивной самоорганизации.

Образовательная цель : расширение понятийной базы по теме «Многочлены» за счет включения в нее новых элементов: умножение одночленов на многочлен.

Задачи урока

образовательные:

Выработать алгоритм умножения одночлена на многочлен, рассмотреть примеры его применения.

развивающие:

Развитие внимания, памяти, умения рассуждать и аргументировать свои действия через решение проблемной задачи;

Развитие познавательного интереса к предмету;

Формирование эмоционально-положительного настроя у учащихся путем применения активных форм ведения урока и применением ИКТ;

Развитие рефлексивных умений через проведение анализа результатов урока и самоанализа собственных достижений.

воспитательные:

Развитие коммуникативных умений обучающихся через организацию групповой, парной и фронтальной работы на уроке.

Используемые методы

Словесные методы (беседа, чтение),

Наглядные (демонстрация презентации),

Проблемно-поисковый,

Метод рефлексивной самоорганизации (деятельностный метод),

Формирование личностных УУД.

Дидактическое обеспечение урока:

Компьютерная презентация,

Карточки с заданиями,

Карточки оценки работы на уроке,

Карточки с практическими заданиями по новой теме.

Этапы урок

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

Организационный этап. (1мин)

Цели: актуализация знаний учащихся, определение целей урока, деление класса на группы (разно уровневые), выбор руководителя группы.

Психологический настрой, приветствие учащихся.

Приветствует учеников, называет эпиграф урока. Предлагает занять места по заранее распределенным группам и дает предварительный инструктаж.

Здравствуйте, присаживайтесь. Ребята, еще за тысячи лет до нашего рождения Аристотель говорил, что «…математика … выявляет порядок, симметрию и определенность, а это – важнейшие виды прекрасного». И после каждого урока в мире математики неопределенности становится меньше. Я надеюсь, что и сегодня мы с вами откроем для себя что-то новое.

В ходе урока вы будете заполнять оценочный лист, который лежит у вас на столах, после выполнения каждого задания.

Учащиеся рассаживается по заранее разделенным группам. Знакомится с оценочным листом.

Устный счет.

Цель: проверить усвоение теоретического материала по теме: «Умножение одночлена на одночлен. Возведение в степень» и умения применять его на практике, развитие мыслительных навыков учащихся, осознание ценности совместной деятельности, борьба за успех группы.

а) математический диктант.

Привести подобные одночлены.

а) 2х+4у+6х=

б) -4а+в-3а=

в) 3c+2d+5d=

г) -2d +4a-3a =

2. Умножить одночлен на одночлен

а) -2ху 3х

б) (-4ав) (-2в)

г) (-5ав) (2z )

д) 2z (x +y )

Учитель предлагает выполнить математический диктант, записанный на доске. Контролирует правильность выполнение, подводит к изучению нового материала.

Совместно с учащимися формулирует цель и тему урока

- какой из номеров диктанта вызвал у вас наибольшие затруднения?

Давайте попробуем выяснить где именно возникло затруднение и почему?

- Цель нашего урока: научиться выполнять умножение одночлена на многочлен (справедливость вашего решения).

Тема урока: « У множение одночлена на многочлен».

Учащиеся выполняют задания. Совместно с учителем формулирует цель и тему урока. Записывают тему урока тетрадях.

(предполагаемый ответ учащихся д)

Выработать (сформулировать) правило умножения одночлена на многочлен.

Подведение к новой теме

Цель: подготовить учащихся к изучению нового материала.

Работа в группах.

Группа №1.

Вычислить.

15 80+15 20= 1200+300=1500

15 (80+20)=15 100=1500

Группа №2

Вычислить.

20 40+20 100=800+2000=2800

20 (40+100)=20 140=2800

Группа №3.

Вычислить .

6 (2а+3а)=6 5а=30а

6 2а+6 3а=12а+18а=30

Группа № 4

Вычислить

7 (4х+2х)= 7 6х=42

7 4х+7 2х=28х+14х=42х

Учитель проводит инструктаж. Контролирует выполнение.

Каждой группе необходимо найти значение двух выражений. Сравнить их и записать вывод в виде равенства или неравенства.

Учащиеся решают примеры в группах, делают вывод.

1 член от каждой группы пишет вывод на доске.

На доске написано:

15 80+15 20=15 (80+20)

20 40+20 100=20 (40+100)

6 (2а+3а)=6 2а+6 3

7 (4х+2х)=7 4х+7 2х

Учащиеся выставляют себе оценку в оценочный лист. Если вывод сформулирован и записан правильно, то ставят 5.

«Открытие» учащимися нового материала.
Цель: формирование у учащихся способностей к самостоятельному построению новых способов действия по теме «Умножение одночлена на многочлен» на основе метода рефлексивной самоорганизации.

Выполнение задания «Заполните пропуски»

Слайд 2.

2z ∙(x +y )=2z ∙ +2z ∙

3х(а+в)= а+ в

Через минуту на доске высвечивается правильное решение.

Учитель дает инструктаж.

Проводит опрос. Делает вывод.

Пользуясь равенствами, записанными на доске, заполните пропуски в следующих выражениях

Обратите внимание, что стоит перед скобкой?

Что стоит в скобках?

Что получается в ответе?

И так, давайте сделаем вывод как умножить одночлен на многочлен. Через три минуты представляют свой материал классу (используется белый лист и фломастеры).

Обобщает

Проверим, правильно ли вы сформулировали правило. Для этого откроем учебник на стр.

Ученики работают в группах, каждая группа обсуждает, как заполнить пропуски.

Проверяют правильность заполнения пропусков.

Каждая группа выдвигает свою гипотезу и представляет классу, проходит общее обсуждение и делается вывод.

Читают вслух правило из учебника.

Одночлен

Многочлен

Новый многочлен

Первичное закрепление.

Цель: отработка навыков умножения одночлена на многочлен, развитие мыслительных навыков учащихся, осознание ценности совместной деятельности, борьба за успех группы, повышение мотивации учебной деятельности.

Работа в группах.

Группа №1, 3

х∙(

m ∙(n +3)=__________________ ; 7a ∙(2b -3c ) = _______________ ;

Группа №2, 4

a∙(c-y) = __________________ ; c∙(c+d)=___________________ ;

m∙(y+5)=__________________ ; 6m∙(2n-3k) = ______________ ;

7

Учитель дает инструктаж.

На парте возьмите карточку №2 Обязательное условие - при решении проговаривать друг другу правило.

Выполните взаимопроверку, группа 1 меняется карточками с группой 3, а группа 2 – с группой 4. Выставьте оценки группам в оценочный лист:

5 правильно выполненных задания – оценка «5»; 4 - «4»; 3- «3»; меньше 3- «2».

Выполняют задание на карточках, проводят взаимопроверку.

Ответственный член группы №1 спрашивает любого члена группы №3. Выставляет оценку в оценочный лист.

ответственный член группы №2 спрашивает любого члена группы №4. Выставляет оценку в оценочный лист

6. Математическая зарядка.
Цель: повысить или удержать умственную работоспособность детей на уроках;

обеспечить кратковременный активный отдых для учеников в течение урока.

Учитель проводит инструктаж, показывает карточки, на которых записаны одночлены, многочлены и выражения которые не являются ни одночленами, ни многочленами.

Учащиеся выполняют упражнения по командам

«Одночлен» - руки подняли вверх; «Многочлен» - руки перед собой «Другое выражение» - руки в стороны;

Закрыли глаза, про себя досчитали до 30, открыли глаза.

Математическое лото

Цель: закрепить алгоритм умножения одночлена на многочлен и побудить интерес к математике

Группа№1,3

с(3а-4в)=3ас-12вс;

3) 3c(x-3y)=3cx-9cy;

4) -n(x-m)=-nx+nm;

5) 3z (x-y )= 3zx-3zy .

Карточки с ответами:

3ас-12вс; 3ас+12вс; 3ас-4в

zx+2zy; zx-2zy; zx+2y;

3cx-9cy; 3cx+9cy; 3cx-3cy;

Nx+nm; nx+nm; nx-nm;

3zx-3zy; 3zx-y; zx-zy.

Группа №2, 4

Умножьте одночлен на многочлен

А(3в+с)=-3ав-ас;

4x (5c -s )=20cx -4xs ;

a(3c+2b)=3ac +2ba

1. 5a(b+3d)=5ab+15ad

Карточки с ответами:

3ав-ас; 3ав+ас; в-ас;

20cx -4xs ; 20cx +4xs ; 5c -4xs ;

3ac+2ba; 3ac+6ba; 3ac-2ba;

cp-5cm; ср-5m; p-5cm.

5ab+ad; 5ab+5b; 5ab+15ad

Раздает конверты. Рассказывает правила игры. В одном конверте лежат 5 примеров на умножения одночлен на многочлен и 15 карточек с ответами.

Поясняю, как оценивать выполненную работу.

Группа получает оценку «5»,если первой выполнила все задания верно, 4 задания – «4»; 3 задания – «3», меньше трех –«2», та группа, которая завершает игру в лото второй, при этом выполнив все задания, верно получает оценку «4», третья – «3», последняя – «2».

Получают конверты с заданиями.

Выполняют умножение одночлена на одночлен.

Выбирают правильные ответы из всех предложенных карточек.

Самопроверка.

Получают карточку для самопроверки. Выставляют оценку в оценочный лист.

8 . Рефлексия учебной деятельности на уроке (итог урока).

Цель: самооценка учащимися результатов своей учебной деятельности, осознание метода построения границ и применения нового способа действия.

Фронтальная беседа по вопросы на слайде:

Какой алгоритм умножения одночлена на многочлен существует в математике?

Какой результат вашей деятельности?

Учитель проводит анализ оценочных листов (их результаты видны на слайде)

Возвращается к девизу урока, проводит параллель между эпиграфом и выведенном на уроке алгоритмом.

Сдайте оценочные листы, на которых четко видно результат вашей деятельности.

Еще раз вернемся к девизу нашего урока: «…математика … выявляет порядок, симметрию и определенность, а это – важнейшие виды прекрасного». Алгоритм который мы вывели сегодня на уроке, поможет в дальнейшем сделать нам новые открытия: умножение многочлена на многочлен, поможет узнать формулы сокращенного умножения, о которых много говорят в алгебре. В переде нас ждет много интересного и важного.

Спасибо за урок!!!

Учащиеся делают самоанализ своей работы, вспоминают алгоритм, изученный на уроке, отвечают на вопросы.

ПРИЛОЖЕНИЕ.

КАРТОЧКА №1.

Группа №1.

Вычислить.

15 80+15 20= ______________________________

15 (80+20)= _______________________________

КАРТОЧКА №1.

Группа №2

Вычислить.

20 40+20 100 =_________________________________

20 (40+100)= __________________________________

КАРТОЧКА №1.

Группа №3.

Вычислить .

6 (2а+3а)=_____________________________________

6 2а+6 3а=_____________________________________

КАРТОЧКА №1

Группа № 4

Вычислить

7 (4х+2х)= _____________________________________

7 4х+7 2х= _____________________________________

КАРТОЧКА №2.

Группа №3

х∙(z +y ) = __________________ ; a ∙(c +d )=___________________ ;

5x∙(3a-6a)= _______ -________= _______.

КАРТОЧКА №4.

Группа №2

КАРТОЧКА №2.

Группа №1

х∙(z +y ) = __________________ ; a ∙(c +d )=___________________ ;

m∙(n+3)=__________________ ; 7a∙(2b-3c) = _______________ ;

5x∙(3a-6a)= _______ -________= _______.

КАРТОЧКА №2.

Группа №2

a ∙(c -y ) = __________________ ; c ∙(c +d )=___________________ ;

m ∙(y +5)=__________________ ; 6m ∙(2n -3k ) = ______________ ;

Математическое лото ( по два экземпляра)

с(3а-4в)

z(x+2y)

3c(x-3y)

-n(x-m)

3z (x-y )

-а(3в+с)

4x (5c -s )

a(3c+2b)

c(p-5m)

5a(b+3d)

Ответы к лото (по два экземпляра)

3ас-12вс

3ас+12вс

3ас-4в

zx+2zy;

zx-2zy

zx+2y

3сх-9су

3cx-3cy

3сх+3су

Nx+nm

nx+nm

nx-nm

zx-zy

3zx-y

3zx-3zy

3ав-ас

3ав+ас;

в-ас

20cx -4xs

20cx +4xs

5c -4xs

3ac+2ba

3ac+6ba

3ac-2ba

cp-5cm

ср-5m

p-5cm.

5ab+ad

5ab+5b

Урок алгебры в 7 -м классе

ЦЕЛИ УРОКА

ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЕ: сформулировать определение умножения одночлена на многочлен; развивать умения и навыки работы с одночленами и многочленами.

РАЗВИВАЮЩИЕ: развивать навыки познавательной, мыслительной деятельности, логическое мышление, вырабатывать умение анализировать и сравнивать.

ВОСПИТАТЕЛЬНЫЕ: воспитывать познавательную активность, ответственность; активизировать мыслительную деятельность в процессе выполнения самостоятельной работы.

ОБОРУДОВАНИЕ

Мультимедийный проектор, карточки с дифференцированными заданиями, карточки «Математическое лото», карточки с самостоятельной работой, «Оценочный лист».

ТИП УРОКА

Комбинированный.

СТРУКТУРА УРОКА

Мотивационная беседа.

Проверка домашнего задания. Индивидуальная работа по карточкам.

Актуализация опорных знаний - устная работа в игровой форме, с помощью которой ведется повторение основных фактов, свойств на основе систематизации знаний.

Изучение нового материала - в ходе беседы, учащиеся формулируют правило умножения одночлена на многочлен.

Закрепление изученного материала.

Физпауза.

Самостоятельная работа с самопроверкой.

Рефлексия.

Домашнее задание.

Итог урока.

ХОД УРОКА

ОРГАНИЗАЦИОННЫЙ МОМЕНТ Слайд 1,2.

Учитель: Здравствуйте, ребята! Сегодня девизом к нашему уроку будут слова величайшего древнего китайского философа Конфуция: «Три пути ведут к знанию: путь размышления - это путь самый благородный, путь подражания - это путь самый легкий и путь опыта - это путь самый горький.» Мы с вами пойдем благородным путем. Продолжим учиться размышлять, находить рациональные пути решения и высказывать свои идеи. Желаю вам удачи!

Сегодня на уроке вы оцениваете свою деятельность в «Оценочных листах».

Оценочный лист ученика ______________________________

1. ПОВТОРЕНИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКОГО МАТЕРИАЛА ПО ТЕМЕ «ОДНОЧЛЕНЫ. МНОГОЧЛЕНЫ»

Проверка домашнего задания. (три ученика, на заранее подготовленной доске, воспроизводят решения домашних номеров. После проверки выполнения, учащиеся класса задают дополнительный вопрос, выставляется отметка.)

Индивидуальная работа по карточкам. (Приложение 1)

№ 601. Слайд 3.

2. Устная работа. « Математическое лото».

Учитель: Ребята, вы умеете играть в лото? Работу выполняете в паре. На парте лежит таблица «Математическое лото». Вычеркните правильные ответы. Готовы?

1). Математическое лото.

Вычеркни правильные ответы.

Учитель показывает карточки, ученики вычеркивают верные ответы.

2). Упростите выражения.

а 5 ∙ а 4 2 6 ∙ 2 9 5а ∙ 3а -2у ∙ 6х 4 ab ∙ a 2

5 x +(8- x ) 12а - (2 - 6 a ) 2 (a - b ) - a 2 (4 a - 1) 10 b (a + b - 2)

Учитель: Ребята, проверьте, правильно ли справились с этим заданием? Слайд 4.

Какие выражения остались? (Ученики: «одночлены и многочлены»)

Какие действия можно выполнять с многочленами и одночленами? (Ученики: «складывать, вычитать, умножать, делить, возводить в степень»).

Прочитайте выражения: 5х + (8 - х); 12 - (2 - 6а) (учитель прикрепляет на доске магнитом)

Какие выражения при упрощении вызвали затруднения? Почему? (Ученики: «2(а-b), -a2(4a - 1), 10b(a + b - 2), не умеем упрощать выражения такого вида»)

Прочитайте эти выражения. (2(а-b), -a2(4a - 1), 10b(a + b - 2), прикреплены на доске магнитом)

Как называются выражения, стоящие перед скобками? (Ученики: «одночлены»)

Как называются выражения в скобках? (Ученики: «многочлены»)

Как вы думаете, чему вы сегодня научитесь на уроке? (Ученики: «умножать одночлен на многочлен»)

Сформулируйте тему урока и запишите ее в тетрадь. (Ученики: «Умножение одночлена на многочлен») Слайд 5.

Как упростить эти выражения? Кто смог умножить одночлен на многочлен? На какие знания вы опирались? (выслушиваю ответы учеников).

Сегодня вы научитесь выполнять еще одно преобразование алгебраических выражений, находить произведение одночлена на многочлен.

3. ИЗУЧЕНИЕ НОВОГО МАТЕРИАЛА Слайд 6,7.

Учитель: Запишите в тетрадь выражение 7m6(m3 - m2 - 2)=

Какие правила надо знать, чтобы умножить одночлен на многочлен? (Ученики: «распределительное свойство, умножение степеней с одинаковыми основаниями, умножение положительных и отрицательных чисел»)

Запишите следующее выражение -3а2 (4а3 - а + 1)=

Какие правила надо знать, чтобы умножить одночлен на многочлен?

Сформулируйте правило умножения одночлена на многочлен. (Ученики: «Чтобы умножить одночлен на многочлен надо, одночлен умножить на каждый член многочлена»)

Молодцы! Прочитайте в учебнике определение по нашей теме.

4. ЗАКРЕПЛЕНИЕ ИЗУЧЕННОГО МАТЕРИАЛА (работа с учебником)

Слайд 8.

№ 614 (а,б,в) - ученики на доске с объяснением;

№618 (г) - учитель вместе с учениками;

А) 1-й ряд (1 ученик на доске),

Б) 2-й ряд (1 ученик на доске),

В) 3-ряд (1 ученик на доске);

№ 630 (работа в группе)

Учитель: К вашим партам приклеены кружки, разные по цвету (6 разных цветов по 4 кружка). На них к №630 написаны буквы. Посмотрите, найдите задание в учебнике. Одинаковые буквы на кружках- это члены вашей группы. Выполните задание.

(после окончания работы каждая группа комментирует ответы, проверяем, разбираем ошибки)

Молодцы, успешно справились с данной работой. Не забудьте про «Оценочный лист».

5. ФИЗПАУЗА Слайд 9.

Быстро встали, улыбнулись,

Выше-выше подтянулись.

Ну-ка плечи распрямите,

Поднимите, опустите.

Вправо, влево повернитесь,

Рук коленями коснитесь.

Сели, встали, сели, встали,

И на месте побежали.

Учится с тобою молодёжь

Развивать и волю, и смекалку.

6. САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА (в двух вариантах, для проверки усвоения нового материала)

Учитель: На ваших партах лежат задания для самостоятельной работы. Выполните предложенное задание.

Вариант 1.

А) _____ (х-у) = 4bx - 4by.

Б) _____ (5a + b) = 10

В) _____(x - 2) = x

Г) ______(c - m + b) = -ayc + aym - ayb.

Вариант 2.

Ученик умножил одночлен на многочлен, после чего одночлен оказался стертым. Восстанови его:

А) _____(х-у) = 9ax - 9ay.

Б) _____(2a + b) = 2

В) ______(x - ) = x

Г) _____(x + y - a) = -bcx - bcy + bca.

Учитель: Проверьте правильность выполнения задания. Слайд 10.

8. РЕФЛЕКСИЯ Слайд 11.

Как вы оцениваете свое участие в работе на уроке?

Как вы оцениваете свои знания по новой теме?

Какие темы необходимо повторить, чтобы в дальнейшим быть успешным?

9. ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ Слайд 12.

10. ИТОГ УРОКА.

Ребята, вы сегодня очень хорошо работали на уроке, были активны, помогали друг другу. Сдайте ваши оценочные листы. Карточки с самостоятельной работой. На следующем уроке вы их получите с оценкой учителя.

Всем спасибо! До свидания! Слайд 13.

Приложение 1.

Карточка №1

1. Приведите подобные члены многочлена.

А) 5х + 6у - 3х - 12у = _________________________________________.

Б) 3ab + 7b + 12b - ab = _________________________________________.

B) 3t2 - 5t + 11 - 3t2 + 5t = ________________________________________.

2. Представьте выражение в виде степени.

А) b13 ∙b ∙ b7 = __________________.

Б) (x3)2 ∙ x4 = ___________________ .

Карточка №2

1. Раскройте скобки, используя правило.

А) 6а + (х + 3а - 1)= ______________________________________.

Б) 5у - (2х - а + b)= _____________________________________.

2. Упростите выражение:

а) (х3)2 ∙ х4 =____________________________________.

Б) (а3 ∙ а5)4 = ________________________________________

В) (с6)8: (с7)5 = _______________________________________

Карточка №3

Упростите выражение:

(8c2 + 3c) + (-7c2 - 11c + 3) - (-3c2 - 4) = ____________________________________________________________.

2.Вычислите:

А) 43 ∙ 53 = _______________;

Б) = ___________________.

Карточка №4.

1. Составьте сумму многочленов и приведите к стандартному виду:

А) 12у2 + 8у - 11 и 3у2 - 6у + 3;

Составьте разность многочленов и приведите к стандартному виду:

Б) а2 - 5ab - b2 и a2 + b2.

Упростите:

х15: х5 ∙ х7 = __________________.

Литература

1. Алгебра: учебник для 7 класса / Ю. Н. Макарычев [и др.]; под редакцией С. А. Теляковского - М.: Просвещение, 2014
2. Дидактические материалы по алгебре для 7 класса / Л. П. Звавич, Л. В. Кузнецова, С. Б. Суворова. - М.: Просвещение, 1012
3. Поурочные разработки по алгебре. 7 класс/ А. Н. Рурукин, Г. В. Лупенко, И. А. Масленникова. - М.: ВАКО, 2007
4. Открытые уроки алгебры. 7-8 классы / Н. Л. Барсукова. - М.: ВАКО, 2013

На одночлен? Как при умножении правильно расставить знаки?

Правило.

Чтобы умножить многочлен на , надо каждый член многочлена умножить на одночлен и полученные результаты сложить.

Удобно одночлен записывать перед скобками.

Чтобы правильно расставить знаки при умножении, лучше воспользоваться правилом раскрытия скобок, перед которыми стоит знак «плюс» либо знак «минус».

Умножения многочлена на одночлен можно изобразить с помощью схемы.

Одночлен умножаем на каждый член многочлена, стоящего в скобках («фонтанчиком»).

Если перед скобками стоит знак «+», знаки в скобках не изменяются:

Если перед скобками стоит знак «-«, каждый знак в скобках меняется на противоположный:

Рассмотрим, как умножить многочлен на одночлен, на конкретных примерах.

Примеры.

Выполнить умножение многочлена на одночлен:

Решение:

Умножаем одночлен на каждый член многочлена, стоящего в скобках. Так как перед скобками стоит знак «плюс», знаки в скобках не изменяются:

отдельно перемножаем числа, отдельно — с одинаковыми основаниями:

Одночлен умножаем на каждый член многочлена. Так как перед скобками стоит множитель, знак каждого слагаемого, стоящего в скобках, меняем на противоположный:

Обычно пишут короче, умножение степеней и чисел (за исключением обыкновенных дробей и смешанных чисел) выполняют устно.

Если коэффициенты — обыкновенные дроби, то умножаем их по правилу умножения обыкновенных дробей: числитель — на числитель, знаменатель — на знаменатель, и сразу же записывая их под одну дробную черту. Если коэффициенты — смешанные числа, переводим их в неправильные дроби:

Внимание!

Не сокращаем дроби, пока не записали все действия до конца. Как показывает практика, если сразу же начинать с сокращения дробей, то до остальных слагаемых дело не доходит — о них просто забывают.

Если числа обозначены различными буквами, то можно лишь обозначить из произведение; пусть, напр., надо число a умножить на число b, – мы можем это обозначить или a ∙ b или ab, но не может быть и речи о том, чтобы как-нибудь выполнить это умножение. Однако, когда имеем дело с одночленами, то, благодаря 1) присутствию коэффициентов и 2) тому обстоятельству, что в состав этих одночленов могут входить множители, обозначенные одинаковыми буквами, является возможность говорить о выполнении умножения одночленов; еще шире такая возможность при многочленах. Разберем ряд случаев, где возможно выполнять умножение, начиная с простейшего.

1. Умножение степеней с одинаковыми основаниями . Пусть, напр., требуется a 3 ∙ a 5 . Напишем, зная смысл возведения в степень, то же самое подробнее:

a ∙ a ∙ a ∙ a ∙ a ∙ a ∙ a ∙ a

Рассматривая эту подробную запись, мы видим, что у нас написано a множителем 8 раз, или, короче, a 8 . Итак, a 3 ∙ a 5 = a 8 .

Пусть требуется b 42 ∙ b 28 . Пришлось бы написать сначала множитель b 42 раза, а затем опять множитель b 28 раз – в общем, получили бы, что b берется множителем 70 раз. т. е. b 70 . Итак, b 42 ∙ b 28 = b 70 . Отсюда уже ясно, что при умножении степеней с одинаковыми основаниями основание степени остается без перемены, а показатели степеней складываются. Если имеем a 8 ∙ a, то придется иметь в виду, что у множителя a подразумевается показатель степени 1 («a в первой степени»), – следовательно, a 8 ∙ a = a 9 .

Примеры: x ∙ x 3 ∙ x 5 = x 9 ; a 11 ∙ a 22 ∙ a 33 = a 66 ; 3 5 ∙ 3 6 ∙ 3 = 3 12 ; (a + b) 3 ∙ (a + b) 4 = (a + b) 7 ; (3x – 1) 4 ∙ (3x – 1) = (3x – 1) 5 и т. д.

Иногда приходится иметь дело со степенями, показатели которых обозначены буквами, напр., xn (x в степени n). С такими выражениями надо привыкнуть обращаться. Вот примеры:

Поясним некоторые из этих примеров: b n – 3 ∙ b 5 надо основание b оставить без перемены, а показатели сложить, т. е. (n – 3) + (+5) = n – 3 + 5 = n + 2. Конечно, подобные сложения должно научиться выполнять быстро в уме.

Еще пример: x n + 2 ∙ x n – 2 , – основание x надо оставить без перемены, а показатель сложить, т. е. (n + 2) + (n – 2) = n + 2 + n – 2 = 2n.

Можно выше найденный порядок, как выполнять умножение степеней с одинаковыми основаниями, выразить теперь равенством:

a m ∙ a n = a m + n

2. Умножение одночлена на одночлен. Пусть, напр., требуется 3a²b³c ∙ 4ab²d². Мы видим, что здесь обозначено точкою одно умножение, но мы знаем, что этот же знак умножения подразумевается между 3 и a², между a² и b³, между b³ и c, между 4 и a, между a и b², между b² и d². Поэтому мы можем здесь видеть произведение 8 множителей и можем перемножить их любыми группами в любом порядке. Переставим их так, чтобы коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями оказались рядом, т. е.

3 ∙ 4 ∙ a² ∙ a ∙ b³ ∙ b² ∙ c ∙ d².

Тогда мы сможем перемножить 1) коэффициенты и 2) степени с одинаковыми основаниями и получим 12a³b5cd².

Итак, при умножении одночлена на одночлен мы можем перемножить коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями, а остальные множители приходится переписывать без изменения.

Еще примеры:

3. Умножение многочлена на одночлен. Пусть надо сначала какой-нибудь многочлен, напр., a – b – c + d умножить на положительное целое число, напр., +3. Так как положительные числа считаются совпадающими с арифметическими, то это все равно, что (a – b – c + d) ∙ 3, т. е. a – b – c + d взять 3 раза слагаемым, или

(a – b – c + d) ∙ (+3) = a – b – c + d + a – b – c + d + a – b – c + d = 3a – 3b – 3c + 3d,

т. е. в результате пришлось каждый член многочлена умножить на 3 (или на +3).

Отсюда вытекает:

(a – b – c + d) ÷ (+3) = a – b – c + d,

т. е. пришлось каждый член многочлена разделить на (+3). Также, обобщая, получим:

и т. п.

Пусть теперь надо (a – b – c + d) умножить на положительную дробь, напр., на +. Это все равно, что умножить на арифметическую дробь , что значит взять части от (a – b – c + d). Взять одну пятую часть от этого многочлена легко: надо (a – b – c + d) разделить на 5, а это уже умеем делать, – получим . Остается повторить полученный результат 3 раза или умножить на 3, т. е.

В результате мы видим, что пришлось каждый член многочлена умножить на или на +.

Пусть теперь надо (a – b – c + d) умножить на отрицательное число, целое или дробное,

т. е. и в этом случае пришлось каждый член многочлена умножить на –.

Таким образом, какое бы ни было число m, всегда (a – b – c + d) ∙ m = am – bm – cm + dm.

Так как каждый одночлен представляет собою число, то здесь мы видим указание, как умножать многочлен на одночлен – надо каждый член многочлена умножить на этот одночлен.

4. Умножение многочлена на многочлен . Пусть надо (a + b + c) ∙ (d + e). Так как d и e означают числа, то и (d + e) выражает какое-либо одно число.

(a + b + c) ∙ (d + e) = a(d + e) + b(d + e) + c(d + e)

(мы можем объяснить это и так: мы вправе d + e временно принять за одночлен).

Ad + ae + bd + be + cd + ce

В этом результате можно изменить порядок членов.

(a + b + c) ∙ (d + e) = ad + bd + ed + ae + be + ce,

т. е. для умножения многочлена на многочлен приходится каждый член одного многочлена умножать на каждый член другого. Удобно (для этого и был выше изменен порядок полученных членов) умножить каждый член первого многочлена сперва на первый член второго (на +d), затем на второй член второго (на +e), затем, если бы он был, на третий и т. д.; после этого следует сделать приведение подобных членов.

В этих примерах двучлен умножается на двучлен; в каждом двучлене члены расположены по нисходящим степеням буквы, общей для обоих двучленов. Подобные умножения легко выполнять в уме и сразу писать окончательный результат.

От умножения старшего члена первого двучлена на старший член второго, т. е. 4x² на 3x, получим 12x³ старший член произведения – ему подобных, очевидно, не будет. Далее мы ищем, от перемножения каких членов получатся члены с меньшею на 1 степенью буквы x, т. е. с x². Легко видим, что такие члены получатся от умножения 2-го члена первого множителя на 1-й член второго и от умножения 1-го члена первого множителя на 2-ой член второго (скобки внизу примера это указывают). Выполнить эти умножения в уме и выполнить также приведение этих двух подобных членов (после чего получим член –19x²) – дело нетрудное. Затем замечаем, что следующий член, содержащий букву x в степени еще на 1 меньшей, т. е. x в 1-ой степени, получится только от умножения второго члена на второй, и ему подобных не будет.

Еще пример: (x² + 3x)(2x – 7) = 2x³ – x² – 21x.

Также в уме легко выполнять примеры, вроде следующего:

Старший член получается от умножения старшего члена на старший, ему подобных членов не будет, и он = 2a³. Затем ищем, от каких умножений получатся члены с a² – от умножения 1-го члена (a²) на 2-ой (–5) и от умножения второго члена (–3a) на 1-ый (2a) – это указано внизу скобками; выполнив эти умножения и соединив полученные члены в один, получим –11a². Затем ищем, от каких умножений получатся члены с a в первой степени – эти умножения отмечены скобками сверху. Выполнив их и соединив полученные члены в один, получим +11a. Наконец, замечаем, что младший член произведения (+10), вовсе не содержащий a, получается от перемножения младшего члена (–2) одного многочлена на младший член (–5) другого.

Еще пример: (4a 3 + 3a 2 – 2a) ∙ (3a 2 – 5a) = 12a 5 – 11a 4 – 21a 3 + 10a 2 .

Из всех предыдущих примеров мы также получим общий результат: старший член произведения получается всегда от перемножения старших членов множителей, и подобных ему членов быть не может; также младший член произведения получается от перемножения младших членов множителей, и подобных ему членов также быть не может.

Остальным членам, получаемым при умножении многочлена на многочлен, могут быть подобные, и может даже случиться, что все эти члены взаимно уничтожатся, а останутся лишь старший и младший.

Вот примеры:

(a² + ab + b²) (a – b) = a³ + a²b + ab² – a²b – ab² – b³ = a³ – b³
(a² – ab + b²) (a – b) = a³ – a²b + ab² + a²b – ab² + b³ = a³ + b³
(a³ + a²b + ab² + b³) (a – b) = a 4 – b 4 (пишем только результат)
(x 4 – x³ + x² – x + 1) (x + 1) = x 5 + 1 и т. п.

Эти результаты достойны внимания и их полезно запомнить.

Особенно важен следующий случай умножения:

(a + b) (a – b) = a² + ab – ab – b² = a² – b²
или (x + y) (x – y) = x² + xy – xy – y² = x² – y²
или (x + 3) (x – 3) = x² + 3x – 3x – 9 = x² – 9 и т. п.

Во всех этих примерах, применяясь к арифметике, мы имеем произведение суммы двух чисел на их разность, а в результате получается разность квадратов этих чисел.

Если мы увидим подобный случай, то уже нет нужды выполнять умножение подробно, как это делалось выше, а можно сразу написать результат.

Напр., (3a + 1) ∙ (3a – 1). Здесь первый множитель, с точки зрения арифметики, есть сумма двух чисел: первое число есть 3a и второе 1, а второй множитель есть разность тех же чисел; потому в результате должно получиться: квадрат первого числа (т. е. 3a ∙ 3a = 9a²) минус квадрат второго числа (1 ∙ 1 = 1), т. е.

(3a + 1) ∙ (3a – 1) = 9a² – 1.

Также

(ab – 5) ∙ (ab + 5) = a²b² – 25 и т. п.

Итак, запомним

(a + b) (a – b) = a² – b²

т. е. произведение суммы из двух чисел на их разность равно разности квадратов этих чисел.

Класс: 7

Цель :

1. Обеспечить усвоение первоначальных знаний по теме «Умножение одночлена на многочлен»;
2. Развивать аналитико-синтезирующее мышление;
3. Воспитывать мотивы учения и положительного отношения к знаниям.

Сплочение коллектива класса.

Задачи :

1. Познакомиться с алгоритмом умножения одночлена на многочлен;
2. Отрабатывать практическое применение алгоритма.

Оборудование : карточки с заданиями, компьютер, интерактивный проектор.

Тип урока : комбинированный.

Ход урока

I. Организационный момент:

Здравствуйте ребята, садитесь.

Сегодня мы продолжаем изучение раздела «Многочлены» и тема нашего урока «Умножение одночлена на многочлен». Откройте тетради и запишите число и тему урока «Умножение одночлена на многочлен».

Задача нашего урока вывести правило умножения одночлена на многочлен и учиться применять его на практике. Знания, полученные сегодня необходимы вам на протяжении изучения всего курса алгебры.

У вас на столах лежат бланки в которые мы будем заносить ваши баллы, набранные на протяжении всего урока, и по итогам будет выставлена оценка. Баллы мы будем изображать в виде смайликов. (Приложение 1 )

II. Этап подготовки учащихся к активному и осознанному усвоению нового материала.

При изучении новой темы нам потребуются знания, которые вы получили на предыдущих уроках.

Учащихся выполняют задания по карточкам по теме «Степень и ее свойства». (5-7 минут)

Фронтальная работа:

1) Даны два одночлена: 12p 3 и 4p 3

а) сумму;
б) разность;
в) произведение;
д) частное;
е) квадрат каждого одночлена.

2) Назовите члены многочлена и определите степень многочлена:

а)5ab – 7a 2 + 2b – 2,6
б)6xy 5 + x 2 y - 2

3) Нам сегодня потребуется распределительное свойство умножения.

Давайте сформулируем это свойство и запись в буквенном виде.

III. Этап усвоения новых знаний.

Мы с вами повторили правило умножения одночлена на одночлен, распределительное свойство умножения. А теперь давайте усложним задачу.

Разделитесь на 4 группы. У каждой группы на карточках 4 выражения. Попробуйте восстановить недостающее звено в цепи и пояснить свою точку зрения.

• 8x 3 (6x 2 – 4x + 3) = ………………….……= 48x 5 – 32x 4 + 24x 3
• 5a 2 (2a 2 + 3a – 7) = …………………...…..= 10a 4 + 15a 3 – 35a 2
• 3y(9y 3 – 4y 2 – 6) = ………………………. =27y 4 – 12y 3 – 18y
• 6b 4 (6b 2 + 4b – 5) = ………….……………= 36b 6 + 24b 5 – 30b 4

(Один представитель от каждой группы выходит к экрану, записывает недостающую часть выражения и поясняет свою точку зрения.)

Попробуйте сформулировать правило (алгоритм) умножения многочлена на одночлен.

Какое выражение получается в результате выполнения данных действий?

Чтобы проверить себя откройте учебник стр. 126 и прочитайте правило (1 человек читает вслух).

Совпадают ли наши выводы с правилом в учебнике? Запишите правило умножения одночлена на многочлен в тетрадь.

IV. Закрепление:

1. Физкультминутка:

Ребята, сядьте поудобнее, закройте глаза, расслабьтесь, сейчас мы отдыхаем, мышцы расслаблены, мы изучаем тему «Умножение одночлена на многочлен».

И так мы помним правило и повторяем за мной: чтобы умножить одночлен на многочлен нужно одночлен умножить на каждый член многочлена и записать сумму полученных выражений. Открываем глаза.

2. Работа по учебнику № 614 у доски и в тетрадях;

а) 2х(х 2 – 7х - 3) = 2х 3 – 14х 2 – 6х
б) -4в 2 (5в 2 – 3в - 2) = -20в 4 + 12в 3 + 8в 2
в) (3а 3 – а 2 + а)(- 5а 3) = -15а 6 + 5а 5 – 5а 4
г) (у 2 – 2,4у + 6)1,5у = 1,5у 3 – 3,6у 2 + 9у
д) -0,5х 2 (-2х 2 – 3х + 4) = х 4 + 1,5х 3 – 2х 2
е) (-3у 2 + 0,6у)(- 1,5у 3) = 4,5у 5 - 0,9у 4

(При выполнении номера анализируются наиболее типичные ошибки)

3. Соревнование по вариантам (расшифровка пиктограммы). (Приложение 2)

Задания представлены на индивидуальных карточках и на экране. Каждый учащийся выполняет свое задание, находит букву и записывает ее на экране напротив того выражения, которое он преобразовывал. Если получен правильный ответ, то получится слово: молодцы! умники 7а